圆幂定理

平面内任意一点

P

关于定圆的"圆幂"是一个不变量；过

P

任作弦（或切线、割线），两段距离的乘积恒等于

|PO|^2 - r^2

的绝对值。

圆幂（Power of a Point）——把"过定点作弦/割线/切线"的三种配置统一成同一个乘积恒等式。

圆幂的定义

对平面上任意一点 $P$ 与定圆 $\odot O$ （半径 $r$ ），定义 $P$ 关于 $\odot O$ 的圆幂为

$\operatorname{pow}_{\odot O}(P) \;=\; |PO|^{2} - r^{2}.$

圆幂的绝对值有清晰几何意义——它正是"过 $P$ 的弦/割线/切线被截成的两段长度乘积"。

三种配置：P 在圆外（切线 + 割线 / 两割线）、P 在圆上（值为 0）、P 在圆内（相交弦）

弦 $AB$ 与弦 $CD$ 相交于圆内一点 $P$ ：

$PA \cdot PB \;=\; PC \cdot PD \;=\; r^{2} - |PO|^{2}.$

详细证明见相交弦——连辅助弦 $AC, BD$ ，对顶角 + 同弧圆周角 ⇒ $\triangle PAC \sim \triangle PDB$ ⇒ 比例式 ⇒ 乘积相等。

$相交弦：圆内 P + 两弦 AB, CD，PA\cdot PB = PC\cdot PD$

由 $P$ 引切线 $PT$ （切于 $T$ ）+ 割线 $PAB$ （割于 $A, B$ ）：

$PT^{2} \;=\; PA \cdot PB \;=\; |PO|^{2} - r^{2}.$

详细证明见切割线定理——弦切角 + 公共角 ⇒ $\triangle PTA \sim \triangle PBT$ ⇒ $PT/PB = PA/PT$ 。

$切割线：圆外 P + 切线 PT + 割线 PAB，PT^2 = PA\cdot PB$

由 $P$ 引两条割线 $PAB$ 、 $PCD$ ：

$PA \cdot PB \;=\; PC \cdot PD \;=\; |PO|^{2} - r^{2}.$

详细证明见两割线定理——结构同相交弦版，只是把对顶角换成公共角。

$双割线：圆外 P + 两割线，PA\cdot PB = PC\cdot PD$

待补充。